Дискуссионное исследование действующего и перспективного законодательства


Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен



3.9. Мультипликативный процесс.



Главная >> Синергетика >> Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен



image

3.9. Мультипликативный процесс


Нужно обойти антиплагиат?
Поднять оригинальность текста онлайн?
У нас есть эффективное решение. Результат за 5 минут!



В завершение темы опишем еще один формальный механизм появления СЗРВ, кᴏᴛᴏᴩый, как и критический ветвящийся процесс, не будучи самоорганизованным, позволяет, однако, получить более полное представление о природе масштабной инвариантности.

Широкий класс процессов, связанных с воспроизводством, может быть описан отображением вида

/images/6/872_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image362.png">,        (29)

коэффициент кᴏᴛᴏᴩого kt детерминированным или случайным образом зависит от номера шага времени t (мы ограничимся рассмотрением чисто случайного k). Отображение (29) называется мультипликативным процессом и возникает в тех случаях когда состояние системы (численность популяции, стоимость портфеля акций, число заболевших при эпидемии и т.п. на шаге t+1 зависти от состояния на шаге t и общей обстановки на ϶ᴛᴏм шаге, описываемой коэффициентом k.

Это отображение удобно рассматривать в логарифмическом представлении

/images/6/315_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image363.png">,    (30)

введя обозначения t = ln xt и t = ln kt. Поскольку t представляет собой сумму независимых случайных величин, при достаточно больших t она будет нормально распределена (а xt будет, ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙенно, иметь логнормальное распределение) с параметрами, зависящим от t Распределение оказывается нестационарным, поскольку, как легко видеть, x ® 0 при v = áñ < 0 и x ® ∞ при v > 0. Чтобы добиться стационарности крайне важно дополнить отображение (29) правилом, "не подпускающим" x к его предельному значению. В случае если ограничиться случаем v < 0 (случай v > 0 ϲʙᴏдится к нему рассмотрением вместо x и k обратных величин), то речь идет об отталкивании от нуля, кᴏᴛᴏᴩое обычно объясняется дискретной природой процесса или действием механизмов, препятствующих вырождению.

Отталкивание от нуля можно ввести многими, например, заменив (29) на

/images/6/672_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image364.png">,   (31)

где bt – небольшая положительная детерминированная или случайная добавка (в ϶ᴛᴏм случае, как легко видеть, áxñ = ábñ/(1‑áañ) либо на

/images/6/660_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image365.png">,         (32)

т.е. не позволяя xt опускаться ниже некᴏᴛᴏᴩого значения c (без потери общности можно считать, что каждый раз, когда xt падает ниже c, начинается новый процесс с x0 = c). Кроме того будем предполагать, что несмотря на ограничение v < 0, коэффициент отображения k с заметной долей вероятности принимает значения больше 1, т.е. что x может расти не только за счет введенного отталкивания от нуля, но и "естественным" образом.

В отличие от отображения (29) отображения (31) и (32) характеризуются экспоненциальным стационарным распределением p() и, ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙенно, степенным p(x).

В случае если обозначить через () распределение вероятностей смещения , для p(), можно записать рекуррентное соотношение

/images/6/440_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image366.png">,    (33)

разложив в кᴏᴛᴏᴩом p(‑)в ряд по степеням  до второго члена, получаем

/images/6/532_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image367.png">,      (34)

где T = áñ/2. Можно убедиться, что стационарное решения уравнения (34) при условие ограниченности  снизу имеет вид

/images/6/258_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image368.png">,     (35)

что приводит к степенному виду (2) для распределения p(x) с

/images/6/122_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image369.png">.         (36)

Этот результат легко можно получить и без вычислений, поскольку уравнение (34) описывает частицу, находящуюся в ограниченном слева линейном потенциале напряженности v при температуре T. Как известно, плотность вероятности в ϶ᴛᴏм случае описывается распределением Важно знать, что больцмана (35).

Формула (36) для показателя распределения будет приближенной. Чтобы найти выражение для точного значения, подставим распределение (35) в формулу (33)

/images/6/518_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image370.png">.

Откуда получаем уравнение áeñ º ákñ = 1.

Здесь крайне важно обратить внимание на два обстоятельства, делающих мультипликативный процесс более адекватным образом самоорганизованно критических явлений, чем устойчивые законы распределения или ветвящиеся процессы:

1)    в отличие от первых, характеризуемых значениями  £ 2, СЗРВ, порождаемые мультипликативным процессом, могут иметь любые положительные ;

2)    в отличие от вторых, кᴏᴛᴏᴩые характеризуются чистым СЗРВ только при единичном коэффициенте размножения, мультипликативный процесс описывается распределениями с тяжелыми хвостами и при ákñ отличном от 1 (причем показатель, вообще говоря, отличается от  = 1/2, присущего ветвящимся процессам).

Последнее обстоятельство особенно важно, поскольку отображение (29) в каком-то смысле тоже представляет собой ветвящийся процесс, когда на очередном шаге происходит превращение каждой частицы в k частиц. При этом существенным обстоятельством здесь будет то, что флуктуации величины k действуют одновременно на все делящиеся частицы. В то время как для обычного ветвящегося процесса флуктуации независимы для каждой делящейся частицы .По϶ᴛᴏму, если для него математическое ожидание числа частиц, получающихся при делении одной частицы, обозначить через m, а его дисперсию через D, то математическое ожидание числа частиц, получающихся при делении x частиц, есть xm, а дисперсия – xD.

В случае если попытаться представить шаг ветвящегося процесса в виде (29), то математическое ожидание и дисперсия коэффициента k будут равняться значениям данных величин для ветвящегося процесса, отнесенным к одной частице, т.е. m и D/x, ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙенно. Исходя из всего выше сказанного, мы приходим к выводу, что чем больше число частиц, делящихся на некᴏᴛᴏᴩом шаге, тем более узким будет распределение для коэффициента k, описывающего ϶ᴛᴏт шаг в терминах мультипликативного процесса (самоусреднение). А поскольку коэффициент размножения m < 1, то для достаточно больших x дальнейшее увеличение числа частиц становится практически невероятным, что и приводит к нарушению степенного вида закона распределения для некритического ветвящегося процесса.

Ситуацию, однако, можно "выправить", если поставить параметры ветвящегося процесса в зависимость от числа делящихся частиц, т.е. позволить частицам "чувствовать" друг друга, например, следующим образом. Пусть когда имеется x частиц, каждая из них с вероятностью qx = m/x превращается в x частиц, а с вероятностью px = 1‑qx – распадается. Тогда математическое ожидание и дисперсия для коэффициента k равны, ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙенно, m и m‑m2/x, т.е. при больших x зависимостью k от x можно пренебречь и получается обыкновенный мультипликативный процесс, описываемый СЗРВ.

Сформулированные правила ветвящегося процесса можно интерпретировать как индуцированный риск, т.е. проблемы, порождаемые уже имеющимися, причем в количестве пропорциональном их числу. Именно такое целостное поведение и типично для критических систем, однако не следует забывать, что установка параметров ветвящегося или мультипликативного процесса в значения, создающая условия для появления степенных зависимостей с определенными показателями, происходит путем самоорганизации на базе локальных правил. Т.е. мультипликативный процесс можно рассматривать для описания механизма появления степенных зависимостей, но не для объяснения их природы.

 









(С) Юридический репозиторий Зачётка.рф 2011-2016

Яндекс.Метрика