Дискуссионное исследование действующего и перспективного законодательства


Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен



5.1. Задача "хищник–жертва".



Главная >> Синергетика >> Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен



image

5.1. Задача "хищник–жертва"


Нужно обойти антиплагиат?
Поднять оригинальность текста онлайн?
У нас есть эффективное решение. Результат за 5 минут!



Динамика численности взаимодействующих популяций жертвы N1(t) и хищника N2(t) моделируется системой уравнений

/images/6/93_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image281.png">. (29)

Здесь r1 и r2 – мальтузианские коэффициенты, h1 и h2 – средние возрасты производителей, K1(a) и K2 – средние численности жертвы и хищника ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙенно, где a – коэффициент давления хищника на жертву, определяющий эффективное уменьшение средней численности жертвы

/images/6/55_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image282.png">.   (30)

Изучим наиболее интересный с биологической точки зрения случай, когда популяция жертв сильно плодовита, т.е.

/images/6/176_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image283.png">. (31)

Это условие, в частности, означает, что популяция жертв в отсутствии хищника совершает интенсивные колебания.

Опишем структуру стационарных режимов (т.е. тех на кᴏᴛᴏᴩые происходит выход при T ® ∞) в ϶ᴛᴏм. Сначала, исходя из биологических соображений, в пространстве начальных условий системы (29) выделяется некᴏᴛᴏᴩое (достаточно широкое) множество S. Через N1(t,) и N2(t,) будем обозначать решения (29) с начальными условиями (задаваемыми при t = 0) из S. Пусть 0 = t0 < t1 < … и 0 < 0 < 1 < … – занумерованные в порядке следования все неотрицательные нули функций N1(t) – K1 и N2(t) – K2 ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙенно, причем /images/6/250_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image284.png">(t2i), /images/6/498_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image285.png">(t2i) > 0. Для каждого номера n = 0,1,… найдется такой номер pn ³ n (p0 = 0) что

/images/6/55_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image286.png">.

Эти неравенства имеют ясный биологический смысл. В первую очередь, они означают, что численность популяции хищника начинает интенсивно расти тогда, когда численность жертв выше средней. Во-вторых, между двумя соседними всплесками численности хищника (на промежутке времени от 2n до 2(n+1)) происходит ровно qn = pn+1 – pn всплесков численности жертв.

Стоит сказать - положим /images/6/12_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image287.png"> и введем вспомогательный параметр zn по правилу:

/images/6/907_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image288.png">.

Очевидно, все выводы относительно последовательности zn легко переформулировать для последовательности n.
Стоит отметить, что основной математический результат таков. Последовательность zn задается с точностью до o(r1‑1) равномерно относительно выбора начальных функций из S отображением

/images/6/102_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image289.png">.     (32)

Здесь функция f(z) с  = r2h2×a‑1(1+a) определяется следующим образом: для всех тех z, для кᴏᴛᴏᴩых при некᴏᴛᴏᴩом натуральном k выполнено 0 < k+zln z £ 1, положим f(z) = k+zln z. Отметим, что тем самым, f(z) осуществляет отображение отрезка [0;1] в себя.

При условии  < e эта функция непрерывна на отрезка [0;1], а при  ³ e – разрывна и состоит из конечного числа непрерывных ветвей, количество кᴏᴛᴏᴩых слева и справа от точки z = e‑1 одинаково (и равно наименьшему целому, превосходящему e‑1 (см. рис. 4). Прообразы таких крайней левой и крайней правой ветвей обозначим через d1, а прообразы следующих за ними аналогичных ветвей – через d2 и т.д. Отметим, что каждой точке z Î (0;1) припишем номер z, означающий, что z Î /images/6/187_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image290.png">.

/images/6/778_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image291.jpg">

Рисунок № 4. Отображение (32) при =2, 3 и 9 (слева направо)

Отображение f(z) позволяет достаточно полно охарактеризовать поведение решений системы (29) (с начальными условиями из S). Его аттракторам отвечают аналогичные аттракторы системы (29). Грубым периодическим траекториям отображения (32) отвечают грубые периодические траектории той же устойчивости исходного уравнения (29). Более того, оказывается, что такую важную характеристику решений N1(t), N2(t) как число всплесков численности жертв qn можно выразить как qn = /images/6/374_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image292.png">.

Интересно отметить, что при определенных значениях  (в т.ч. и при  < e) может существовать несколько аттракторов. Отметим, что теория одномерных отображений, а также результаты компьютерного анализа с помощью ЭВМ говорят о существовании у системы (29) странных аттракторов.

Типичные графики поведения N1 и N2 приведены на рис. 5. Четко прослеживается универсальность хатчинсоновского характера колебаний – быстрый рост численности сменяется еще более быстрым ее падением и затем длительным периодом восстановления средней численности.

При этом, стационарные режимы для хищников существенно отличаются друг от друга. При ϶ᴛᴏм хищнику выгодны в наибольшей степени такие режимы, когда он реагирует (т.е. совершает всплеск численности) на каждый всплеск численности жертвы. Уместно отметить, что опасность колебаний в других режимах сильно увеличивается, поскольку резко падает минимум численности хищника, и растет промежуток времени, где его численность ниже средней.

Важно заметить, что одной из интерпретаций ϶ᴛᴏго утверждения будет объяснение причины вымирания хищника. В результате упрощения экосистемы, когда поведение хищника определяется исключительно одной популяцией жертв, его колебания могут сорваться на опасный (хотя и устойчивый) режим. По-видимому, сильные колебания кормовой базы ведут к необходимости расширения рациона хищника.

Наличие или отсутствие опасных режимов, когда хищник "пропускает" один или несколько всплесков численности жертв, определяется параметром  = r2h2(1+a)/a. Уменьшение ϶ᴛᴏго параметра приводит к ликвидации опасных режимов. Условие  < 1 оказывается наиболее выгодным: быстро улучшаются все жизненно важные характеристики популяций. При ϶ᴛᴏм хищник тем лучше контролирует поведение всей экосистемы, чем меньше значение .

К уменьшению , а значит – к улучшению условий существования, приводят уменьшение плодовитости r2 хищника и уменьшение возраста половозрелых особей h2. Самой подвижной характеристикой, вероятно, будет коэффициент давления a. Ясно, что его увеличение может быть полезным не только хищнику, но и жертве (правда, при ϶ᴛᴏм несколько падает средняя численность жертвы в силу (30)).

/images/6/271_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image293.jpg">

Рисунок № 5. Типичные графики для задачи хищник–жертва

Слева – фазовый портрет для численности жертвы – N1(t‑T) как функция N1(t). Справа – динамики численности жертвы (вверху) и хищника (внизу).

Обратим внимание, что перечисленные способы уменьшения коэффициента  несколько противоречивы. Уменьшение плодовитости хищника скорее всего приведет и к уменьшению давления хищника на жертву. С другой стороны, сильно давить на жертву может исключительно достаточно плодовитый хищник.









(С) Юридический репозиторий Зачётка.рф 2011-2016

Яндекс.Метрика