Дискуссионное исследование действующего и перспективного законодательства


Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен



§3. Локализация режимов с обострением.



Главная >> Синергетика >> Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика - Неизвестен



image

§3. Локализация режимов с обострением


Нужно обойти антиплагиат?
Поднять оригинальность текста онлайн?
У нас есть эффективное решение. Результат за 5 минут!



Как уже было отмечено, один из принципиальных вопросов теории режимов с обострением состоит в изучении структуры множеств L и L, кᴏᴛᴏᴩые характеризуют строгую и эффективную локализацию режимов с обострением. В ϶ᴛᴏм параграфе приведены некᴏᴛᴏᴩые примеры уравнений типа (1) и ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙующих задач, в кᴏᴛᴏᴩых изучается возможность локализации процессов, здесь также обсуждается математическая техника анализа ϶ᴛᴏго явления.

Изучим сначала достаточно простую краевую задачу для уравнения (1) без источника в одномерном случае:

/images/6/346_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image129.png">,            (23)

/images/6/463_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image130.png">,            (24)

/images/6/831_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image131.png">.   (25)

Мы уже упоминали точное автомодельное решение (5) ϶ᴛᴏй задачи, развивающееся в режиме с обострением и локализованное как в строгом смысле (у него неподвижный фронт), так и в эффективном смысле. Ему отвечает граничный режим u1(t) = (T‑t)‑1/ ® ¥ при t ® T. Наличие или отсутствие локализации при других граничных режимах устанавливается в следующем утверждении.

Утверждение 7 Пусть в задаче (23)–(24)–(25) граничный режим удовлетворяет неравенству u1(t) £ (T‑t)n ® ∞ при t ® T, n < 0. Тогда, если n Î (‑1/;0) и u0(x) – финитная функция, то решение локализовано в строгом и в эффективном смысле и

/images/6/822_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image132.png">,

где C(n,) > 0 – некᴏᴛᴏᴩая постоянная.

В случае если n = ‑1/ < 0 и u1(t) £ (T‑t)‑1/, t Î (0;T),

/images/6/352_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image133.png">, то

/images/6/550_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image134.png">,

т.е. решение локализовано строго.

В случае если n < ‑1/ и u1(t) ³ (T‑t)n при t Î (0;T) то локализация решения отсутствует и

/images/6/633_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image135.png">.

Доказательство утверждения 7 основано на сравнении решения u(t,x) задачи (23)–(24)–(25) с решением в разделяющихся переменных (5) и с автомодельными решениями уравнения (23) вида

/images/6/761_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image136.png">,

развивающимися в режиме с обострением с граничным законом u1(t) = (T‑t)n ® ∞ при t ® T ‑.
Стоит отметить, что особо интересен первый случай в утверждении 7 (LS‑режим с обострением). Видно, что граничный режим при таких значениях n < 0 достаточно интенсивный, а решение обращается в бесконечность исключительно в одной точке – на границе x = 0! Рассматривая (23) как уравнение теплопроводности, можно сказать, что происходит инерция тепла. В случае если говорить о ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙии параметров среды (k(u) = u) и граничного воздействия u1(t), то мы имеем дело с таким их взаимодействием, когда сколь угодно большие поступления ресурсов извне в среду аккумулируются в очень малом слое.

Изучим снова задачу Коши (7)–(8) при N = 1

/images/6/375_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image137.png">,         (26)

Учитывая зависимость от параметров  и  автомодельные решения uA(t,x) ϶ᴛᴏй задачи (см. (9)) могли быть локализованными или не быть таковыми. В частности, при  > +1 (LS‑режим с обострением) uA(t,x) > 0 при x Î (‑∞;+∞), т.е. оно строго нелокализовано. Будет ли решение локализованным, если при данных же параметрах мы рассмотрим финитную (неавтомодельную) начальную функцию в (26)? Нижеследующие утверждения показывают, что произвольные решения задачи (26) в основном повторяют ϲʙᴏйства автомодельных решений (9).

Для дальнейших рассуждений предположим, что начальная функция u0(x) в (26) финитная со связным носителем (носитель решения – ϶ᴛᴏ то множество значений x, где решение положительно):

/images/6/458_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image138.png">.

Тогда известно, что носитель (t) решения u(t,x) задачи (26) при каждом t > 0 из интервала существования (0;T) неограниченного решения также будет ограниченным

/images/6/433_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image139.png">.

Размер носителя решения обозначается в дальнейшем как mes (t), и в нашем случае mes (t) = h+(t)‑h‑(t).

Утверждение 8. Пусть  = +1, тогда неограниченное решение задачи (26) локализовано и для границ носителя решения h±(t) к моменту обострения решения t = T справедливы следующие оценки:

/images/6/952_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image140.png">,

где LS = 2(+1)1/2/ – фундаментальная длина (см. (6)).

Доказательство утверждения 8 основано на специальном сравнении произвольного неограниченного решения задачи (26) с точным решением (6) той же задачи, кᴏᴛᴏᴩое локализовано на длине LS. Время обострения решения (6) выбирается равным времени обострения произвольного решения (϶ᴛᴏ возможно, т.к. параметр T > 0 в (6) – произвольный). Специальное сравнение состоит в анализе эволюции числа точек пространственных пересечений различных решений задачи (26), имеющих один и тот же момент обострения (о некᴏᴛᴏᴩых проблемах такого сравнения было сказано выше). Эволюция границ носителя хорошо видна на примере численного решения задачи (26), приведенного на рис. 5.

Таким образом, произвольное финитное решение обостряется внутри некᴏᴛᴏᴩой области, и мы можем оценить границу той области, куда никакие возмущения ("отголоски" катастрофы) не дойдут. На самом деле оценка проникновения возмущения в утверждении 8 может быть улучшена в два раза путем сравнения с принципиально новым семейством точных решений задачи (26)

Оказывается, что по характеру начального профиля u0(x) в (26) можно предсказать и более экзотическое поведение неограниченных решений. К примеру, внутри области развивается режим с обострением, идет катастрофический рост решения, а граница носителя финитного решения вообще неподвижна. Таким ϲʙᴏйством обладает, например, точное автомодельное решение (6). Стоит сказать, для формулировки нижеследующих утверждений перепишем ϶ᴛᴏ решение в виде

/images/6/215_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image141.png">.           (27)

Специальное сравнение произвольного решения u(t,x) задачи (26) с решением (27) той же задачи дает следующий результат.

/images/6/341_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image142.jpg">

Рисунок № 6. Численное решение задачи (26) при >

Обострение происходит в одной точке x=0.

Утверждение 9. Пусть u(t,x) – неограниченное решение задачи (26) при  = +1 со временем обострения T < ∞ и mes (0) > LS = 2(+1)1/2/. Пусть начальная функция u0(x) удовлетворяет следующему условию: существует такое 0 > 0, что uS(0,x;x0,0) £ u0(x) при x Î (‑∞;+∞), где x0 = h±(0)/images/6/703_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image143.png">LS/2, а функции u0(x) и uS(0,x;x0,0) пересекаются только в одной точке при всех 0 <  < 0. Тогда h±(t) º h±(0) при всех t Î (0;T).

Из ϶ᴛᴏго утверждения вытекает, что неподвижность фронта определяется исключительно локальным поведением начального возмущения u0(x) вблизи его границ на расстоянии от них не более LS. Можно сказать, что мы имеем дело с такими начальными данными, при кᴏᴛᴏᴩых возможная катастрофа локализуется полностью.

Похожие результаты доказаны и для случая  > +1 в уравнении (26). Это тот случай, когда автомодельные решения (9) обостряются в одной точке и при ϶ᴛᴏм строго не локализованы. Произвольное же неограниченное решение с финитной начальной функцией будет строго локализованным, что хорошо видно на рис. 6.

Для случая 1 <  < +1 решения будут строго нелокализованными, как и в случае автомодельных решений (9). Здесь можно дать даже оценку "скорости", с кᴏᴛᴏᴩой движется граница возмущения.

Утверждение 10. Пусть 1 <  < +1, u0(x) – финитное начальное возмущение. Тогда неограниченное решение задачи (26) с моментом обострения T < ∞ не локализовано, и справедливы оценки

/images/6/930_Управление%20риском.%20Риск.%20Устойчивое%20развитие.%20Синергетика_image144.png">,

где m = [‑(+1)] / [2(‑1)] < 0, C > 0 – постоянная.

Видно, что h±(t) ® ∞ при t ® T – и распространение возмущений невозможно остановить никаким изменением начальных профилей u0(x).









(С) Юридический репозиторий Зачётка.рф 2011-2016

Яндекс.Метрика