Случайные события

В экономике, так же как и в других областях человеческой деятельности или в природе, постоянно приходится иметь дело с событиями, кᴏᴛᴏᴩые невозможно точно предсказать. Так, объем продаж товара зависит от спроса, кᴏᴛᴏᴩый может существенно изменяться, и от ряда других факторов, кᴏᴛᴏᴩые учесть практически нереально. По϶ᴛᴏму при организации производства и осуществлении продаж приходится прогнозировать исход такой деятельности на базе либо собственного предыдущего опыта, либо аналогичного опыта других людей, либо интуиции, кᴏᴛᴏᴩая в значительной степени тоже опирается на опытные данные.

Чтобы каким-то образом оценить рассматриваемое событие, крайне важно учитывать или специально организовывать условия, в кᴏᴛᴏᴩых фиксируется ϶ᴛᴏ событие.

Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента.

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным, если оно обязательно побудет в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в ϶ᴛᴏм опыте.

К примеру, выпадение снега в Москве 30 ноября будет случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.

Важно заметить, что одной из главных задач в теории вероятностей будет задача определения количественной меры возможности появления события.

Алгебра событий

События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте. Так, наличие двух и трех автомашин в одном магазине для продажи в одно и то же время — ϶ᴛᴏ два несовместных события.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из данных событий

В качестве примера суммы событий можно назвать наличие в магазине хотя бы одного из двух товаров.

Произведением событий называется событие, состоящее в одновременном появлении всех данных событий

Событие, состоящее в появлении одновременно в магазине двух товаров будет произведением событий: -появление одного товара, — появление другого товара.

События образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.

Пример. В порту имеется два причала для приема судов. Можно рассмотреть три события: — отсутствие судов у причалов, — присутствие одного судна у одного из причалов, — присутствие двух судов у двух причалов. Эти три события образуют полную группу событий.

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.

В случае если одно из событий, являющихся противоположными, обозначить через , то противоположное событие обычно обозначают через .

Классическое и статистическое определения вероятности события

Стоит сказать, что каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами . К примеру, бросается игральная кость. Элементарных исходов всего может быть шесть по числу очков на гранях.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Так, событие выпадения четного числа очков определяется тремя исходами: 2, 4, 6.

Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события будет вероятность.

В наибольшей степени широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление ϶ᴛᴏго события.

В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани, имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее
количество возможных исходов. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.

Классическое определение. Вероятность события равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

(1.1)

где — вероятность события , — число благоприятствующих событию исходов, — общее число возможных исходов.

В рассмотренном примере

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события в опытах.

Относительная частота появления события рассчитывается по формуле

(1.2)

где - число появления события в серии из опытов (испытаний).

Статистическое определение. Вероятностью события называется число, относительно кᴏᴛᴏᴩого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.

Из данных определений вероятности события видно, что всегда выполняется неравенство

Для определения вероятности события на базе формулы (1.1) часто могут быть использованы формулы комбинаторики, по кᴏᴛᴏᴩым находится число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.

Пример. Известно, что в поступившей партии из 30 швейных машинок 10 имеют внутренний дефект. Уместно отметить, что определить вероятность того, что из партии в 5 наудачу взятых машинок 3 окажутся бездефектными.

Решение. Для решения данной задачи введем обозначения. Пусть — общее число машинок, — число бездефектных машинок, — число отобранных в партию машинок, — число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по машинок, т.е. общее число возможных исходов будет равно числу сочетаний из элементов по , т.е. . Но в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из элементов по , т.е. .

С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число кᴏᴛᴏᴩых равно числу сочетаний из элементов по , т.е. .

Это значит, что общее число благоприятствующих исходов определяется произведением . Откуда получаем

Подставим в эту формулу численные значения данного примера